Question

7．如图，在平面直角坐标系中，以E（0，1）为圆心，3为半径的⊙E交y轴于A、B两点，交x轴于C、D两点，点P的坐标为（0，-8）
（1）直接写出A，B，C三点的坐标：（0，-2）；（0，4）；（-2$\sqrt{2}$，0）；
（2）求证：PC是⊙E的切线．

Answer 1

分析 （1）连接CE，分别求出OC，OA，OB的长，即可求出点C，点A，点B的坐标；
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠ECP=90°即可证明PC是⊙E的切线．

解答 解：
（1）连接CE，
∵圆E的半径为3，（0，1）为圆心，
∴OE=1，OA=2，CE=3，
∴OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵OE⊥CD，
∴OD=CD=2$\sqrt{2}$，
∴AB=6，
∴OB=6-2=4，
∴点A，B，C三点的坐标分别为：（0，-2）；（0，4）；（-2$\sqrt{2}$，0），
故答案为：（0，-2）；（0，4）；（-2$\sqrt{2}$，0）；
（2）证明：
∵点P的坐标为（0，-8），
∴OP=8，
∵OC=2$\sqrt{2}$，
∴PC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{P}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵PE=9，CE=3，
∴PC²+CE²=PE²，
∴△ECP是直角三角形，
∴∠ECP=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC是⊙E的切线．

点评 本题主要考查了切线的判定定理运用、垂径定理的运用以及勾股定理以及其逆定理的运用，熟练掌握和圆有关的各种性质是解题的关键．