Question

13．?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4．求?ABCD的面积．

Answer 1

分析 由△AOB是等边三角形可以推出?ABCD是矩形，得出AC=BD=8，∠BAD=90°，由勾股定理求出AD，即可得出?ABCD的面积．

解答 解：如图，∵?ABCD的对角线相交于点O，△AOB是等边三角形，
∴OA=OC，OB=OD，OA=OB=AB=4，
∴AC=BD，
∴?ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD=2OA=8，
∴AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面积=AB•AD=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．