Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx-$\frac{5}{2}$，经过A（-1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=ax²+bx-$\frac{5}{2}$，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）首先求出抛物线的对称轴，连接BC，然后设设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），求出k和b的值，把x=2代入一次函数解析式，求出y的值即可；
（3）①当点N在x轴下方时，直接求出N点坐标；②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，先求出N点的纵坐标为$\frac{5}{2}$，进而求出点N的横坐标，即可解答．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=ax²+bx-$\frac{5}{2}$，
得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b-\frac{5}{2}=0}\\{25a+5b-\frac{5}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
即抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；
（2）∵抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$，
∴其对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2×\frac{1}{2}}$=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
当x=2时，y=1-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴P（2，-$\frac{3}{2}$）；
（3）存在，
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-$\frac{5}{2}$），
∴N₁（4，-$\frac{5}{2}$）；
②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，
在△AND与△MCO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠NAD=∠CMO}\\{AN=CM}\\{∠AND=∠MCO}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△MCO（ASA），
∴ND=OC=$\frac{5}{2}$，即N点的纵坐标为$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
解得x=2±$\sqrt{14}$，
∴N₂（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$），N₃（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$），
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-$\frac{5}{2}$）、（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）或（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解答（2）问关键是求出直线BC的解析式，解答（3）问的关键是分点N在x轴的上方还是下方，此题有一定的难度．