Question

5．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=6，BC=10
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=8，求得AF=2，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；

（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，
∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=8，
∴AF=2，
∵AE=AB-BE=6-EF，
∴EF²=AE²+AF²，
即EF²=（6-EF）²+2²，
解得：EF=$\frac{10}{3}$．

点评 该题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．