Question

【题目】若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数 （k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1 ， y2 ， y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；
（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1 ， 0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2 ， y2），C（x3 ， y3）两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x1 ， x2 ， x3构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（ ， ）与原点O的距离OP的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：不能，理由如下：

∵1、2、3的倒数分别为1、 、 ，

∴ + ≠1，1+ ≠ ，1+ ≠

∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”

（2）

解：∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数 （k为常数，k≠0）的图象上，

∴y1、y2、y3均不为0，且y1= ，y2= ，y3= ，

∴ = ， = ， = ，

∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，

∴有以下三种情况：

当 = + 时，则 = + ，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；

当 = + 时，则 = + ，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；

当 = + 时，则 = + ，即t+3=t+t+1，解得t=2；

∴t的值为﹣4、﹣2或2

（3）

解：①∵a、b、c均不为0，

∴x1，x2，x3都不为0，

∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），

∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣ ，

联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，

∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，

∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，

∴x2+x3=﹣ ，x2x3= ，

∴ + = = =﹣ = ，

∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②∵x2=1，

∴a+b+c=0，

∴c=﹣a﹣b，

∵a＞2b＞3c，

∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得 ，解得﹣ ＜ ＜ ，

∵P（ ， ）

∴OP2=（ ）2+（ ）2=（ ）2+（ ）2=2（ ）2+2 +1=2（ + ）2+ ，

令m= ，则﹣ ＜m＜ 且m≠0，且OP2=2（m+ ）2+ ，

∵2＞0，

∴当﹣ ＜m＜﹣ 时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣ 时，OP2有最大值 ，当m=﹣ 时，OP2有最小值 ，

当﹣ ＜m＜ 时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣ 时，OP2有最小值 ，当m= 时，OP2有最大值 ，

∴ ≤OP2≤ 且OP2≠1，

∵P到原点的距离为非负数，

∴ ≤OP≤ 且OP≠1

【解析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3 ， 再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）①由直线解析式可求得x1=﹣ ，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3=﹣ ，x2x3= ，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得 的取值范围，令m= ，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的根与系数的关系和二次函数的性质，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．