Question

20．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边上，连接BD．
（1）试判断△ACE与△BCD是否全等（不要求证明）；
（2）求∠ADB的度数；
（3）求证：AE²+AD²=2AC²．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB，由此即可证明．
（2）由△ECA≌△DCA得∠EAC=∠CBD，因为∠EAC+∠CAD=180°，所以∠CAD+∠CBD=180°，由此可以证明∠ACB+∠ADB=180°，再根据等腰三角形的性质可以解决问题．
（3）由（1）可知AE=BD，在RT△ADB中利用勾股定理即可解决．

解答 （1）解：结论△ACE≌△BCD，
理由：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECA=∠DCB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCA．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠CAD=180°，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADB=90°，
∵∠E=∠EDC=45°，
∴∠BDC=45°．
（3）证明：∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
由（2）可知∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AB²，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$AC，
∴AE²+AD²=2AC²．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，寻找全等三角形是解题的关键，本题还用到四边形内角和定理，属于中考常考题型．