Question

13．如图，△ACD∽△A₁C₁D₁，顶点A、D、C分别与A₁、D₁、C₁对应，点B、B₁分别在AD、A₁D₁、的延长线上，且AD=$\frac{1}{3}$BD，A₁D₁=$\frac{1}{3}$B₁D₁．求证：$\frac{CD}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{BC}{{B}_{1}{C}_{1}}$．

Answer 1

分析 由△ACD∽△A₁C₁D₁，得到$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$，∠A=∠A₁，∠ADC=∠A₁D₁C₁，推出∠CDB=∠C₁D₁B₁，根据已知条件AD=$\frac{1}{3}$BD，A₁D₁=$\frac{1}{3}$B₁D₁．得到AD=$\frac{1}{4}$AB，A₁D₁=$\frac{1}{4}$A₁B₁，推出△ABC∽△A₁C₁B₁，得到∠B=∠B₁，证得△CDB∽△C₁D₁B₁，即可得到结论．

解答 解：∵△ACD∽△A₁C₁D₁，
∴$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$，∠A=∠A₁，∠ADC=∠A₁D₁C₁，
∴∠CDB=∠C₁D₁B₁，
∵AD=$\frac{1}{3}$BD，A₁D₁=$\frac{1}{3}$B₁D₁．
∴AD=$\frac{1}{4}$AB，A₁D₁=$\frac{1}{4}$A₁B₁，
∴$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$，
∴△ABC∽△A₁C₁B₁，
∴∠B=∠B₁，
∴△CDB∽△C₁D₁B₁，
∴$\frac{CD}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{BC}{{B}_{1}{C}_{1}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．