Question

18．已知：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，四边形DECF的面积为y，则y与x之间的函数关系式为y=-2x²+8x．

Answer 1

分析 根据题意求证四边形DECF为矩形，即可推出DF=EC，然后结合图形即可求出AE=8-DF；根据余角的性质即可推出∠A=∠BDF，继而求证△ADE∽△DBF，结合对应边成比例和BF=4-x，AE=8-DF，即可求出DF=-2x+8，根据矩形的面积公式通过等量代换，即可求出二次函数y=DE•DF=-2x²+8x，

解答 解：∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF为矩形，
∴DF=EC，
∵AC=8，AE=AC-EC，
∴AE=8-DF，
∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵四边形DECF为矩形，
∴CF=x，CE=DF，
∴BF=BC-CF=4-x，
∵AE=8-DF，
∴$\frac{8-DF}{DF}$=$\frac{x}{4-x}$，
∴DF=-2x+8，
∴y=DE•DF=x（-2x+8）=-2x²+8x．
故答案为：y=-2x²+8x．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，矩形的面积，二次函数的最值等知识点，角的三角函数，关键在于推出AB的长度，求证△ADE∽△DBF，用关于x、y的式子表达出相关的线段，认真的进行计算．