Question

5．已知矩形ABCD的对角线相交于O，OF⊥AD，OF=2cm，AE⊥BD，且BE=OE
（1）求证：AB=AO；
（2）求证：∠CAD=30°；
（3）求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；（2）先证明△AOB是等边三角形，求出∠BAO=60°，即可得出结果；
（3）在Rt△AOF中，根据含30°角的直角三角形的性质求出AO，即可得出AC的长．

解答 （1）证明：∵AE⊥BD，且BE=OE，
∴AB=AO；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AO=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴AO=OD，
由（1）得AB=AO，
∴AB=AO=OB，
∴∠BAO=60°，
∴∠CAD=90°-60°=30°；
（3）解：∵OF⊥AD，
∴∠AFO=90°，
又∵∠CA=30°，
∴AO=2OF=4cm，
∴AC=2AO=8cm．

点评 本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定因此性质；证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．