Question

2．如图，直线l₁、l₂相交于点O，∠l₁Ol₂=60°，长为2的线段AB在直线l₂上从右向左移动，点P是直线l₁上一点，且∠APB=30°．
（1）请在图中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；
（3）是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据线段AB在平移的过程中长度不变，∠APB=30°为定值的特点，联想圆周角定理及其推论，构造以AB的长为半径的圆，即可解决问题．
（2）如图2、图3，当圆C与直线l₁相切时，符合条件的点只有一个；作辅助线，运用切线的性质和三角函数的定义，分别求出OA的长，即可解决问题．
（3）如图4或图5，在⊙C运动的过程中，符合条件的点P有三个，分别运用切线的性质、矩形的性质、三角函数的定义求出OA的长度，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC，
以C为圆心，AB长为半径作圆，与直线l₁有两个交点P₁、P₂，
则P₁、P₂是符合条件的点．

（2）当点A在点O的右侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$时，或当点A在点O的左侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$+2时，符合条件的点P有且只有一个．理由如下：
如图2，当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，则∠APB=30°，
连接CP，过A作AD⊥l₁于D，则AD=CP=2，
∴OA=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．

如图3，当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，
则∠APB=30°；
连接CP，过B作BE⊥l₁于E，
则BE=CP=2，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$+2．

（3）存在：理由如下：
当A在O的右侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$-2，或A在O的左侧，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$时，
符合条件的点P有三个；理由如下：
如图4，当直线l₁与⊙C₁相交于点P₁、P₂，与⊙C₂相切于点P₃时，连接
C₂P₃，过O作OF⊥BC₂于F，则OF=C₂P₃=2，
∴OB=$\frac{OF}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$-2．

如图5，当直线l₁与⊙C₁相切于点P₁，与⊙C₂相交于点P₂、P₃时，连接
C₁P₁，过A作AG⊥l₁于G，则AG=C₁P₁=2，
∴OA=$\frac{AG}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．

点评 该题以圆为载体，以平移变换为方法，以考查直线与圆的位置关系及其应用为核心构造而成；解题的方法是抓住图形在运动过程中的不变元素，动中求静，以静制动；解题的关键是借助辅助圆，灵活运用圆的切线的性质来分析、判断、推理或解答．