Question

11．在正方形ABCD中，点E是射线BC上的点，直线AF与直线AB关于直线AE对称，直线AF交射线CD于点F．
（1）当点E是线段BC的中点时，求证：AF=AB+CF．
（2）当∠BAE=30°时，求证：AF=2AB-2CF；
（3）当∠BAE=60°时，（2）中的结论是否还成立？若不成立，请判断AF与AB、CF之间的数量关系，并加以证明．
 

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出AG=AB，BE=GE，进而用HL判断出Rt△EGF≌Rt△ECF，代换即可得出结论；
（2）利用含30°的直角三角形的性质即可；
（3）先判断出△AIF为等边三角形，得出AI=FI=AF，再代换即可得出结论．

解答 证明：如图1，
过点E作EG⊥AF与点G，连接EF．
由折叠知，△ABE≌△AGE，
∴AG=AB，BE=GE
∵BE=CE，
∴GE=CE，
∵在Rt△EGF和Rt△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{EG=EC}\end{array}\right.$
∴Rt△EGF≌Rt△ECF，
∴FG=FC
∵AF=AG+FG
∴AF=AB+FC，

（2）如图2，

延长AF、BC交于点H．
由折叠知，∠BAE=∠HAE=30°，
∴∠H=30°
∴AH=2AB
同理：FH=2FC
∵AF=AH-FH
∴AF=2AB-2FC，
（3）由折叠知，∠BAE=∠HAE=60°，
∴∠DAE=∠DAF=30°，
∴△AIF为等边三角形
∴AF=AI=FI
由（2）可得AE=2AB
IE=2IC
∵IC=FC-FI
∴IC=FC-AF
∴IE=2FC-2AF
∵AI=AE-IE
∴AF=2AB-（2FC-2AF）
=2FC-2AB，

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，解本题的关键是找出线段之间的关系．