题目内容
6．如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E．
（1）填空：∠AEC=∠BAD，AE，CE，DE之间的数量关系AE+CE=DE；
（2）若M、N分别为线段AB，BC延长线上两点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？试画图并证明之．
（3）若菱形边长为3，M、N分别为线段AB，BC上两点时，连接BE，Q是BE的中点，则AQ的取值范围是$\frac{3}{2}$≤AQ≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
分析 （1）利用菱形的性质得出结论，进而判断出△BCM≌△CAN，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出△ACN≌△CBM，再判断出△AGC≌△DEC进而得出新的结论；
（3）找出AQ最小和最大的分界点，根据菱形的性质计算即可．
解答 解：如图1，
（1）连接AC，
∵菱形ABCD中，∠ADC=60°，
∴AC=CD=BC，∠BCD=∠BAD，∠ACN=∠B=60°，
在△BCM和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠B=∠ACN}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴∠AEC=180°-（∠CAN+∠ACE）=180°-（BCM+∠ACE）=180°-∠ACB=180°-∠B=∠BAD=120；
在ED上截取EG=CE，则△CEG为等边三角形，
∴CG=CE，∠AEC+∠ECG=120°+60°=180°，
∴CG∥AE，
∴∠ACG=∠CAN=∠BCM，
∴∠ACE=∠BCG，
在△AEC和△DGC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DGC
∴AE=DG
∴DE=DG+EG=AE+CE，
故答案为：∠BAD，AE+CE=DE
（2）不成立，结论是：∠AEC+∠BAD=180°，AE=CE+DE；
如图2，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AB=BC=CD=AC，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BCM=∠ACN=120°，
在△ACN和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{CN=BM}\\{∠ACN=∠BCM}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△CBM
∴∠M=∠N，
∵∠BCM=∠NCE，
∵∠MBC=180°-（∠M+∠BCM），∠CEN=180°-（∠N+∠ECN）
∴∠MBC=∠CEN
∴∠ABC=∠AEC
∵∠ABC+∠BAD=180°
∴∠AEC+∠BAD=180°，
在EA上截取EG=CE，则△CEG为等边三角形，
∴CG=CE，∠ECG=∠ACD=60°，
∴∠ACG=∠DCE，
在△AGC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△DEC
∴AG=DE
∴AE=EG+AG=CE+DE，
∴∠AEC+∠BAD=180°，AE=CE+DE；
∴（1）中的结论是不成立，新结论是：∠AEC+∠BAD=180°，AE=CE+DE；
（3）如图3，当点N在菱形的顶点C处，点M在菱形的顶点B处时，
AN与CM的交点E在菱形的顶点C处，Q点是BC的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AQ=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
如图4，
当点M在菱形的顶点A处，N在菱形的顶点B处时，
点E在菱形的顶点A处，点Q是AB的中点，
即：AQ=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}≤AQ≤\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$≤AQ≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段AQ范围的确定是解本题的关键也是难点．
如图△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD、BC交于点E，则DE的长是4$\sqrt{3}$-4．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8，半径为$\sqrt{3}$的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤180°）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
