Question

19．阅读材料：
如果一个矩形的宽与长的比值恰好为黄金比，人们就称它为“黄金矩形”（Golden Rectangle）．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙、法国巴黎圣母院就是很好的例子．
小明想画出一个黄金矩形，经过思考，他决定先画一个边长为2的正方形ABCD，如图1，取CD边的中点E，连接BE，在BE上截取EF=EC，在BC上截取BG=BF；然后，小明作了两条互相垂直的射线，如图2，OF⊥OG于点O．小明利用图1中的线段，在图2中作出一个黄金矩形OMPN，且点M在射线OF上，点N在射线OG上．
请你帮助小明在图1中完成作图，要求尺规作图，保留作图痕迹．
（1）求CG的长；
（2）图1中哪两条线段的比是黄金比？请你指出其中一组线段；
（3）请你利用（2）中的结论，在图2中作出一个黄金矩形OMPN，且点M在射线OF上，点N在射线OG上．要求尺规作图，保留作图痕迹．

Answer 1

分析 利用题目提示直接画出图形，
（1）先利用勾股定理求出BE，再用作图即可求出CG，
（2）求出CG：BG，即可得出结论，判断出结论；
（3）借助小明的作出的线段，再借助线段的长度，即可作出图形．

解答 解：补全小明的图形如图1所示，
（1）∵正方形的边长为2，
∴BC=CD=2，
∵点E是CD中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=1，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由作图知，EF=CE=1，
∴BF=BE-EF=$\sqrt{5}$-1，
由作图知，BG=BF=$\sqrt{5}$-1，
∴CG=BC-BG=3-$\sqrt{5}$，
（2）由（1）知，BG=$\sqrt{5}$-1，CG=3-$\sqrt{5}$，
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5-1}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴CG，BG的比是黄金比；
（3）如图2所示，

点评 此题是四边形综合题，主要考查了基本作图，勾股定理，线段的比，解本题的关键是掌握几种基本作图，是一道比较简单的综合题．