Question

15．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3
（1）求抛物线的解析式并配成顶点式（要求写出过程）；
（2）求△ABD的面积；
（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可求得C、E的坐标，代入抛物线解析式可求得其解析式，再利用配方法化为顶点式即可；
（2）由（1）可求得D点坐标，令y=0可求得A、B的坐标，则可求得AB的长，利用三角形的面积可求得△ABD的面积；
（3）由旋转的性质可求得G点的坐标，再代入抛物线解析式进行验证即可．

解答 解：
（1）∵四边形OCEF为矩形，
∴OC=EF=3，
∴C（0，3），
∵OF=2，
∴E（2，3），
代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）由（1）可知D（1，4），
在y=-x²+2x+3中，令y=0可得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4=8；

（3）点G不在抛物线上，理由如下：
将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，设O点对应点为H，如图，

则CH=OC=3，HG=AO=1，
∴G（3，2），
当x=3时，y=-x²+2x+3=0≠2，
∴G点不在抛物线上．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、配方法、三角形的面积、旋转的性质等知识．在（1）中求得点C、E的坐标是解题的关键，在（2）中求得A、B、D的坐标是解题的关键，在（3）中求得G点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．