题目内容

（1）如图，点D、E分别是正△ABC边AC、CB延长线上的点，且CD=BE，连接DB并延长交AE于F，求∠AFB的度数；
（2）若将（1）中的正△ABC变成正四边形ABCM，如图2，E、D分别是以C为顶点的CB和MC延长线上的点，且CD=BE，连接DB并延长交AE于F，求∠AFB的度数；
（3）若将（2）中的正四边形ABCM变成正五边形ABCMN，如图3，其他条件不变求∠AFB的度数为
 

（4）若将（2）中的正四边形ABCM变成正n边形ABCM…N，如图4，其他条件不变，根据（1）、（2）、（3）中所展现的规律用含字母n的代数式表达∠AFB的度数为
 

考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）根据等边三角形性质求出AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，求出∠ABE=∠BCD，根据全等三角形的性质得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根据三角形外角性质求出即可；
（2）根据正方形的性质求出AB=BC，∠BCM=∠ABC960°，求出∠ABE=∠BCD，根据全等三角形的性质得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根据三角形外角性质求出即可；
（3）根据正五边形的性质求出AB=BC，∠BCM=∠ABC=108°，求出∠ABE=∠BCD，根据全等三角形的性质得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根据三角形外角性质求出即可；
（4）根据正n边形的性质求出AB=BC，∠BCM=∠ABC=
(n-2)×180°
n
，求出∠ABE=∠BCD，根据全等三角形的性质得出△ABE≌△BCD，推出∠E=∠D，根据三角形外角性质求出即可．
解答：解：（1）∵三角形ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-60°=120°，
在△ABE和△BCD中，
AB=BC
∠ABE=∠BCD
BE=CD
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）∵四边形ABCM是正四边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=90°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-90°=90°，
在△ABE和△BCD中，
AB=BC
∠ABE=∠BCD
BE=CD
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=90°；

（3）∵四边形ABCMN是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=
(5-2)×180°
5
=108°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-108°=72°，
在△ABE和△BCD中，
AB=BC
∠ABE=∠BCD
BE=CD
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=108°，
故答案为：108°；

（4）∵四边形ABCM…N是正n边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=
(n-2)×180°
n
，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，
AB=BC
∠ABE=∠BCD
BE=CD
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=
(n-2)×180°
n
，
故答案为：
(n-2)×180°
n
．
点评：本题考查了正多边形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，题目是一道具有代表性的题目，证明过程类似．
练习册系列答案
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（2）根据（1）中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；
（3）试探究∠BFH与∠CFG的大小关系，并说明理由．
计算：
（1）
27
-
12
+
1
3
；          
（2）(
48
-
75
)×
1
1
3
；
（3）（
3
+
2
）（
3
-
2
）-|1-
2
|；
（4）
48
÷
3
-
1
2
×
12
+
24
．
计算：
（1）(-4)2-|-
1
2
|+2-1-20140；
（2）（2m-3n）（2n+3m）；
（3）（x+2）2-（x+1）（x-1）；
（4）(-6xy2)(
1
3
xy+
3
2
y2-x2)；
（5）（x-y+1）（x-y-1）；
（6）（-4x3+12x2y-16x3y2）÷（-4x2）．
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m
x
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因式分解：16a2b-16a3-4ab2．
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（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是
 
．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．
两个角的两边分别平行，一个角是50°，那么另一个角是
 
．

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