Question

如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，CE与BD交于F，连接AF并延长交BC于H，过F作FG⊥BC于G．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=65°，求∠HFG的度数；
（2）根据（1）中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；
（3）试探究∠BFH与∠CFG的大小关系，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）求出角BAC，求出∠BAH，根据三角形外角性质求出∠AHG，根据三角形内角和定理球出错即可；
（2）求出角BAC度数，求出∠BAH度数，根据三角形外角性质求出∠AHG，根据三角形内角和定理球出错即可；
（3）根据三角形外角性质求出∠BFH，根据三角形内角和定理求出角CFG，即可得出答案．

解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴AH平分∠BAC，
∵∠ABC=45°，∠ACB=65°，
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°，
∠BAH=

1

2

∠BAC=35°，
∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=45°+35°=80°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGH=90°，
∴∠HFG=90°-80°=10°；

（2）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴AH平分∠BAC，
∵∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB），
∠BAH=

1

2

∠BAC=90°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=∠ABC+90°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°+

1

2

（∠ABC-∠ACB），
∵FG⊥BC，
∴∠FGH=90°，
∴∠HFG=90°-[90°+

1

2

（∠ABC-∠ACB）]=

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC；

（3）∠BFH=∠CFG，
理由是：∵∠BFH=

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB）+

1

2

∠ABC=90°-

1

2

∠ACB；
∠CFG=180°-90°-

1

2

∠ACB=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BFH=∠CFG

点评：本题考查了角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．