Question

13．如图，已知AD∥BC，AP平分∠BAD，BP平分∠ABC，点P恰好在DC上，下面结论：①AP⊥BP，②点P到直线AD，BC的距离相等，③PD=PC，其中结论正确的是①②③．

Answer 1

分析 作PE⊥AD交AD的延长线于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，根据角平分线的定义和平行线的性质证明①正确；根据角平分线的性质证明②正确；运用全等三角形的判定定理和性质定理证明③正确．

解答 解：作PE⊥AD交AD的延长线于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，

∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，即AP⊥BP，①正确；
∵AP平分∠DAB，PE⊥AD，PG⊥AB，
∴PE=PG，
同理，PF=PG，
∴PE=PF，即点P到直线AD、BC的距离相等，②正确；
由题意得，△DPE≌△CPF，
∴PD=PC，③正确，
故答案为：①②③．

点评 本题考查的是角平分线的定义和性质以及平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．