Question

10．阅读材料，回答问题
在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足． 
（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；
（2）求CF的长．

Answer 1

分析 （1）利用正方形是性质和平行线的性质，由“两角法”证明△ADE∽△FCD；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等求解．

解答 解：（1）△ADE∽△FCD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB∥CD，
∴∠CDF=∠DEA．
又CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，
因而，△ADE∽△FCD；

（2）由题意知，AD=CD=1，AE=$\frac{1}{2}$．
在直角△DEA中，有DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
由（1）可得：$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CD}{DE}$，则CF=$\frac{AD•CD}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确证明△ADE∽△FCD是关键．