Question

如图，直线l：y=-

4

3

x+4与x轴，y轴分别交于点A，B．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，直线A′B′交l于点C．
（1）求A′、B′两点的坐标及直线A′B′的解析式．
（2）求△A′BC的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求一次函数解析式,坐标与图形变化-旋转

专题：

分析：（1）先根据一次函数的解析式求出AB两点的坐标，再由图形旋转的性质求出A′、B′的坐标，用待定系数法求出直线A′B′的解析式即可；
（2）直接根据A′、B、C的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可．

解答： 解：（1）∵令x=0，则y=4，令y=0，则x=3，
∴A（3，0），B（0，4），
由图形旋转的性质可知，A′（ 0，-3），B′（ 4，0），
设过A′（ 0，-3），B′（ 4，0）的解析式为y=kx+b（k≠0）
则

b=-3 4k+b=0

，
解得

b=-3 k= 3 4

．
故此直线的解析式为：y=

3

4

x-3；

（2）∵过A′，B′两点的解析式为：y=

3

4

x-3，
∴

y= 3 4 x-3 y=- 4 3 x+4

，
解得

x= 84 25 y=- 12 25

，
∴C（

84

25

，-

12

25

），
∴S_△A’BC=

1

2

|A′B|×x_C=

1

2

×7×

84

25

=

294

25

．

点评：本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及三角形的面积公式，根据题意求出直线A′B′的解析式是解答此题的关键．