Question

9．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤为一边，用总长为a米（a为大于21的常数）的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域．已知岸堤的可用长度不超过21米．设AB的长为x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米
（1）求y与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围（用含a的式子表示）．
（2）若a=30，求y的最大值，并求出此时x的值．
（3）若a=48，请求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）设AB的长为x米，则BC的长为（a-3x）米，根据矩形民机公式可得函数解析式，由0＜BC≤21可得x的范围；
（2）将a=30代入解析式配方成顶点式，结合x的范围可得最值；
（3）将a=48代入解析式配方成顶点式，结合x的范围可得最值．

解答 解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（a-3x）米，
根据题意得：y=x（a-3x）=-3x²+ax，
由a-3x≤21可得x≥$\frac{a-21}{3}$，
由a-3x＞0得x＜$\frac{a}{3}$，
∴$\frac{a-21}{3}$≤x＜$\frac{a}{3}$；

（2）当a=30时，y=-3x²+30x=-3（x-5）²+75，
∵3≤x＜10，
∴当x=5时，y取得最大值为75；

（3）当a=48时，y=-3x²+48x=-3（x-8）²+192，
∴当x=8时，y取得最大值为192．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据矩形面积公式得出函数解析式，利用二次函数的顶点式，结合二次函数的性质得出其最值情况是解题的关键．