Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．
（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）当∠CPD=30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）由△CDP∽△PAE得出∠EPA=∠PCD=30°，由角的正切值定理知AE=AP•tan∠EAP，代入相应的数据即可求得答案；
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x，由△CDP∽△PAE知$\frac{CD}{AP}$=2，解得x=8，此时AP=3，AE=4．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=4，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）解：在Rt△PCD中，由tan∠PCD=$\frac{PD}{CD}$，
∴PD=CD•tan∠PCD=4×tan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AP=AD-PD=11-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
解法1：由△CDP∽△PAE知：$\frac{PD}{AE}=\frac{CD}{AP}$，
∴AE=$\frac{PD•AP}{CD}$，
（3）解：假设存在满足条件的点P，
设DP=x，则AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2，
∴$\frac{CD}{AP}$=$\frac{4}{10-x}$，
解得x=8．
此时AP=2，AE=4．

点评 此题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及特殊角的锐角三角函数值，根据△CDP的周长等于△PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2是解题关键．