Question

如图，二次函数y=ax²+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为-1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：几何综合题

分析：（1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出

CM

OA

=

BC

AB

=

1

4

，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（-4，0）；
（2）先将A（-4，0）代入y=ax²+bx，化简得出b=4a，即y=ax²+4ax，则顶点F（-2，-4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（-4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（-2，2k），C（-1，3k）．由C（-1，3k）在抛物线y=ax²+4ax上，得出3k=a-4a，化简得到k=-a．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC²=CD²=1+a²，得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=-1，进而得到此二次函数的关系式为y=-x²-4x．

解答：解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．
∵AC：BC=3：1，
∴

BC

AB

=

1

4

．
∵CM∥OA，
∴△BCM∽△BAO，
∴

CM

OA

=

BC

AB

=

1

4

=

BM

OB

，
∴OA=4CM=4，
∴点A的坐标为（-4，0）；

（2）∵二次函数y=ax²+bx（a＜0）的图象过A点（-4，0），
∴16a-4b=0，
∴b=4a，
∴y=ax²+4ax，对称轴为直线x=-2，
∴F点坐标为（-2，-4a）．
设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（-4，0）代入，
得-4k+n=0，
∴n=4k，
∴直线AB的解析式为y=kx+4k，
∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（-2，2k），C点坐标为（-1，3k）．
∵C（-1，3k）在抛物线y=ax²+4ax上，
∴3k=a-4a，
∴k=-a．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD∽△AED．
∵F（-2，-4a），C（-1，3k），D（-2，2k），k=-a，
∴FC²=（-1+2）²+（3k+4a）²=1+a²，CD²=（-2+1）²+（2k-3k）²=1+a²，
∴FC=CD，
∴△FCD是等腰直角三角形，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∴∠OBA=45°，
∴OB=OA=4，
∴4k=4，
∴k=1，
∴a=-1，
∴此二次函数的关系式为y=-x²-4x．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法，函数图象上点的坐标特征．综合性较强，有一定难度．（2）中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键．