Question

已知正三角形的边长为a，求其内切圆的內接正方形的面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径，即可求得正方形的对角线长，进而求得面积．

解答：解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
则∠OBD=30°，BD=

a

2

，
∴tan∠BOD=

OD

BD

=

3

3

，
∴内切圆半径OD=

3

3

×

a

2

=

3

6

a．
则内切圆的直径长是

3

3

a，
则内接正方形的面积是：

1

2

×（

3

3

a）²=

1

6

a²．

点评：此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．