题目内容
已知：AD、AE分别是△ABC的内外角平分线，M为DE中点，求证：| AB2 |
| AC2 |
| BM |
| CM |
考点：相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：连接AM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角、三角形外角的性质，证明∠B=∠3，易证△BMA∽△AMC，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等即可证得．
解答：
证明：连接AM．
∵AD、AE分别为三角形ABC的内、外角平分线，
∴∠DAE=90°又∵M为DE中点，
∴AM=
DE=DM，
∴∠MDA=∠MAD=∠2+∠3
又∵∠MDA=∠1+∠B
∴∠1+∠B=∠2+∠3
∵∠1=∠2
∴∠B=∠3
又∵∠BMA=∠AMC
∴△BMA∽△AMC
∴
=
=
，
∴
=
-----------（1）
由
=
，
得：AM2=BM•CM-------------（2）
将（2）代入（1）得：
=
=
，即：
=
．
证明：连接AM．∵AD、AE分别为三角形ABC的内、外角平分线，
∴∠DAE=90°又∵M为DE中点，
∴AM=
| 1 |
| 2 |
∴∠MDA=∠MAD=∠2+∠3
又∵∠MDA=∠1+∠B
∴∠1+∠B=∠2+∠3
∵∠1=∠2
∴∠B=∠3
又∵∠BMA=∠AMC
∴△BMA∽△AMC
∴
| AB |
| AC |
| AM |
| CM |
| BM |
| AM |
∴
| AB2 |
| AC2 |
| AM2 |
| CM2 |
由
| AM |
| CM |
| BM |
| AM |
得：AM2=BM•CM-------------（2）
将（2）代入（1）得：
| AB2 |
| AC2 |
| BM•CM |
| CM2 |
| BM |
| CM |
| AB2 |
| AC2 |
| BM |
| CM |
点评：本题考查了直角三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确证明△BMA∽△AMC是关键．
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