Question

16．如图在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△ABC是等边三角形，AB=6cm．
（1）求?ABCD各内角的度数．
（2）求?ABCD各边的长．
（3）求四边形ABCD两条对角线的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠ABC=60°，由平行四边形的性质即可得出∠ADC=∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=120°；
（2）由（1）得出AB=BC=CD=AD=6cm即可；
（3）先证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=3cm，OB=$\frac{1}{2}$BD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，求出OB，即可得出BD的长．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=6cm，
∴BC=AC=AB=6cm，∠ABC=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=120°；
（2）∵BC=AC=AB=6cm，AB=CD，AD=BC，
∴AB=BC=CD=AD=6cm；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=3cm，OB=$\frac{1}{2}$BD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠AOB=90°，
∴OB=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$cm，
∴BD=2OB=6$\sqrt{3}$cm．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．