Question

8．已知二次函数y=-x²+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB与这个二次函数的解析式；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴有两个交点时，△＞0，即可得到结论；
（2）把点A（3，0）代入y=-x²+2x+m得到-9+6+m=0得到B（0，3），
解方程组即可得到结论；
（3）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD，得到当DE的值越大时，S_△ADB的面积越大，设D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y根据图形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）当抛物线与x轴有两个交点时，△＞0，即4+4m＞0，
∴m＞-1；
（2）∵点A（3，0）在抛物线y=-x²+2x+m上，
∴-9+6+m=0，∴m=3．
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，且B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b中，得到
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+3；
（3）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD，
∵AB为定值，∴当DE的值越大时，S_△ADB的面积越大，
设D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y
∴S_△ADB=S_梯形AGCB-S_△BDC-S_△ADG，
∴S_△ADB=$\frac{3（y-3+y）}{2}$-$\frac{1}{2}$（y-3）x-$\frac{1}{2}$（3-x）y=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当$x=\frac{3}{2}$时，S_△ADB的最大值=$\frac{27}{8}$，
将$x=\frac{3}{2}$代入y=-x²+2x+3，得到$y=\frac{15}{4}$，即D（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
又∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$DE•AB，且AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$DE=$\frac{27}{8}$．
∴DE=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
答：DE的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，抛物线上点的坐标特征，勾股定理，确定当DE的值越大时，S_△ADB的面积越大是解题的关键．