Question

17．观察下列关于自然数的等式：
2+$\frac{2}{3}={2}^{2}×\frac{2}{3}$；①
3+$\frac{3}{8}={3}^{2}×\frac{3}{8}$；②
4+$\frac{4}{15}={4}^{2}×\frac{4}{15}$；③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第④个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

Answer 1

分析 （1）等式左边分数的分子是前面的加数，而分母是加数平方减1；等式右边第一个因数是第一个加数的平方，第二个因数等于左边的分数；
（2）第n个等式左边第一个加数是（n+1），以后三数可按照上述规律写出可得等式．

解答 解：（1）第④个等式左边的第一个数为5，则另一加数的分子也为5，而分母则是5²-1；
等式右边第一个因数为5²，另一因数同左边一致，为$\frac{5}{{5}^{2}-1}$；
所以第④个等式为：$5+\frac{5}{{5}^{2}-1}={5}^{2}×\frac{5}{{5}^{2}-1}$；
即$5+\frac{5}{24}={5}^{2}×\frac{5}{24}$．
（2）第n个等式为：$（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}=（n+1）^{2}×\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}$；
∵左边=$\frac{（n+1）^{3}-（n+1）}{（n+1）^{2}-1}+\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{（n+1）^{3}}{（n+1）^{2}-1}$=$（n+1）^{2}×\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}=右边$
∴等式成立．

点评 本题主要考查数字规律的探索与归纳，分式的运算能力．中考热点题型，中等难度．