Question

27、如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30度．
（1）CD是⊙O的切线吗？说明你的理由；
（2）AC=

CD

，请给出合理的解释．

Answer 1

分析：（1）连接OC，BC，只要证得∠OCD=90°即可．
（2）由已知可求得∠CAO=∠D，从而得到结论．

解答：（1）
解：CD是⊙O的切线，连接OC，BC；
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠COB=2∠OAC=60°；
∵OC=OB，
∴△OBC为正三角形，
∴BC=OB=BD，
∴△OCD是直角三角形，∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：
∵∠OCD=90°，∠COB=60°，
∴∠D=90°-∠COB=30°，
∴∠CAO=∠D，
∴AC=CD．

点评：本题考查的是直角三角形的性质及判定定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．