Question

已知：如图，在梯形ABCD中，DF平分∠ADC，交边BC于F，若以点D为圆心，DC长为半径作弧，交边AD于点E，联结EF、BE、EC．
（1）求证：EF=CF；
（2）若点F是BC的中点，请判断线段BE和EC的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,梯形

专题：计算题

分析：（1）由DF为角平分线得到一对角相等，再由半径相等得到ED=CD，以及DF=DF，利用SAS得到三角形EDF与三角形CDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）线段BE与EC垂直，理由为：由F为BC中点，得到BF=EF=CF，利用等边对等角得到两对角相等，利用三角形内角和定理及等式性质变形即可得证．

解答：解：（1）∵DF平分∠ADC，
∴∠EDF=∠CDF，
由半径相等得到ED=CD，
在△EDF和△CDF中，

ED=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF=CF；
（2）线段BE和EC的位置关系是垂直，理由为：
∵点F为BC的中点，
∴BF=CF=EF，
∴∠EBF=∠BEF，∠FEC=∠ECF，
∵∠EBF+∠BEF+∠FEC+∠ECF=180°，
∴∠BEF+∠FEC=90°，
∴BE⊥EC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．