题目内容

16．（1）如图①，AB∥CD，点P在AB、CD外部时，有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=180°-∠POD，而∠BPD+∠D=180°-∠POD，则∠BOD=∠BPD+∠D，故∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立．若成立，请说明理由，若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请你说明你的结论；
（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论，求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（注：四边形的内角和为360°）

分析 （1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；
（2）延长BP交CD于E，然后利用三角形的外角的性质解答即可；
（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．

解答 解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D
如图②所示：延长BP交CD于点E．

∵AB∥CD
∴∠B=∠BED
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D．
（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
理由如下：如图③所示，延长BP交CD于E．

∵∠BPD=∠BED+∠D，∠BED=∠B+∠BQD，
∴∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
（3）如图④所示，连接EG并延长．

根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，
又∵∠AGB=∠CGF，
在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

点评 本题是信息给予题，主要考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，掌握此类问题的辅助线的做法是解题的关键．

练习册系列答案
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