Question

15．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=8cm，BC=16cm．
（1）求重叠部分△DEF的面积；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知：AE=A′E，AB=A′D，∠A=∠A′，然后在△A′ED中，利用勾股定理可求得DE的长，从而可求得△DEF的面积；
（2）过点E作EG⊥BC，在△DFC中，由勾股定理求得FC的长，从而可求得GF的长，最后在△EGF中利用勾股定理求得EF的长即可．

解答 解：（1）由翻折的性质可知：AE=A′E，AB=A′D=8，∠A=∠A′=90°．
设DE=x，则A′E=16-x．
在Rt△A′ED中，由勾股定理得：ED²=A′E²+A′D²，即x²=（16-x）²+8²．
解得：x=10．
∴DE=10．
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}ED•AB$=$\frac{1}{2}×10×8$=40cm²．
（2）如图所示，过点E作EG⊥BC．

由翻折的性质可知：BF=FD．
设CF=y，则DF=16-y
在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF²=FC²+DC²，即（16-y）²=y²+8²．
解得：y=6．
∴GF=GC-FC=10-6=4．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，掌握翻折的性质是解题的关键．