题目内容

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

 


（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC．-----------------------------------------------------2分

 


（2）①如图1，当时，

ED=，QH=，

此时．-------------------------3分

当时，最大值．--------------------------4分

②如图2，当时，

ED=，QH=，

此时． --------------------------5分

当时，最大值．------------------------------6分

∴y与x之间的函数解析式为

y的最大值是．---------------------------------------------------------------7分

（3）①如图1，当时，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

显然ED=EH，HD=HE不可能；-----------------------------------9分

②如图2，当时，

若DE=DH，=，； -----------------10分

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；若ED=EH，则△EDH∽△HDA，

∴，，． 

∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形

练习册系列答案
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23、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
精英家教网如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=
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，D是BC点边上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=18．
（1）求BC的长（2）求CE的长．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（　　）
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙0与BC、CA、AB分别切于点D、E、F．
（1）若BC=40cm，AB=50cm，求⊙0的半径；
（2）若⊙0的半径为r，△ABC的周长为ι，求△ABC的面积．
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90゜，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，BC=4．
（1）求sinα的值； 
（2）求AD的长．

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