Question

7．如图，在矩形ABCD中，E在BA延长线上，连接DE，F在DE上，连接AF、FC，且BE=BD．
（1）如果AB=4，∠ADB=30°，求DE的长；
（2）如果EF=AF，求证：AF⊥CF．

Answer 1

分析 （1）首先由含30°锐角的直角三角形的性质可求出BD的长，再证明三角形△BDE是等边三角形，进而可得DE=BD=8；
（2）连接BF，利用矩形的性质和已知条件可证明△FDC≌△FAB，所以∠5=∠7，再证明∠7+∠6=90°，继而可得：AF⊥CF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵∠ADB=30°，AB=4，
∴DB=2AB=8，∠DBA=60°，
∵BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=8；
（2）连接BF．
∵矩形ABCD，∠DAE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
又∵EF=FA，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴DF=FA，
∵∠ADC=∠EAD=90°，
∴∠FDC=∠FAB
∵矩形ABCD中，AB=CD，
在△FDC和△FAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=FA}\\{∠FDC=∠FAC}\\{DC=AB}\end{array}\right.$
∴△FDC≌△FAB，
∴∠5=∠7，
∵BE=BD，DF=EF，
∴BF⊥DE，
∴∠5+∠6=90°
∴∠7+∠6=90°，
∴AF⊥CF．

点评 该题以矩形为载体，以全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识来分析、判断、解答．