Question

18．已知抛物线y=x²+bx+c的对称轴为x=1．且与x轴交于A、B两点，AB=2．若关于x的一元二次方程x²+bx+c=t（t为实数）在-2≤x＜$\frac{7}{2}$的范围囤内有实数解．t的取值范围是（　　）

• A． 1≤t≤$\frac{21}{4}$
• B． -2≤t≤3
• C． -1≤t＜8
• D． -2≤t＜8

Answer 1

分析 利用二次函数y=x²+bx+c的对称轴为直线x=1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=2，可求b的值，再利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，从而可求c，那么关于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t为实数）可化为x²-2x-t=0，利用公式法求出x，结合-2＜x＜$\frac{7}{2}$的范围内有实数解，可求出相应的x的取值范围．

解答 解：∵二次函数y=x²+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2}$=1，
解得：b=-2，
∵对称轴为直线x=1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=2，
∴直线与x轴交于（2，0），（0，0），
∴当x=0时，0+0+c=0，
∴c=0，
∴关于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t为实数）为x²-2x-t=0，
∴△=b²-4ac=4+4t≥0，
解得t≥-1，
方程x²+bx+c-t=0（t为实数），在-2＜x＜$\frac{7}{2}$的范围内有实数解可以理解为二次函数y₁=x²-2x与直线y₂=t有交点，
当x=-2时，y₁=8；当x=$\frac{7}{2}$时，y₂=$\frac{21}{4}$，
如图所示，
当-1≤t＜$\frac{21}{4}$时二次函数y₁=x²-2x与直线y₂=t有两个交点，
当-1≤t＜8时二次函数y₁=x²-2x与直线y₂=t有一个交点，
因此-1≤t＜8即可保证二次函数y₁=x²-2x与直线y₂=t有交点，
故选C．

点评 本题考查了二次函数的图象与横轴的交点问题、以及抛物线的对称问题．解决本题的关键是正确的理解并应用抛物线与横轴的交点横坐标就是方程的解．