Question

9．小东根据学习函数的经验，对函数y=$\frac{4}{{（x-1）}^{2}+1}$的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y=$\frac{4}{{（x-1）}^{2}+1}$的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）表格是y与x的几组对应值．

x

…

-2

-1

-$\frac{1}{2}$

0

$\frac{1}{2}$

1

$\frac{3}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

3

4

…

y

…

$\frac{2}{5}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{16}{13}$

2

$\frac{16}{5}$

4

$\frac{16}{5}$

2

$\frac{16}{13}$

$\frac{4}{3}$

m

…

表中m的值为$\frac{2}{5}$；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
根据描出的点，画出函数y=$\frac{4}{{（x-1）}^{2}+1}$的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数y=$\frac{4}{{（x-1）}^{2}+1}$的一条性质：①图象位于一二象限，②当x=1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
（5）如果方程$\frac{4}{{（x-1）}^{2}+1}$=a有2个解，那么a的取值范围是0＜a＜4．

Answer 1

分析 （1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（3）根据描点法画函数图象，可得答案；
（4）根据图象的变化趋势，可得答案；
（5）根据图象，可得答案．

解答 解：（1）不论x为何值，分母都不为0，
故答案为：全体实数；

（2）当x=4时，m=$\frac{4}{（4-1）^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$，
故答案为：$\frac{2}{5}$；

（3）；

（4）①图象位于一二象限，②当x=1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
故答案为：①图象位于一二象限，②当x=1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
（5）由图象，得
0＜a＜4．
故答案为：0＜a＜4．

点评 本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．