Question

9．如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，AC为一条对角线，若∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD=90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．

解答 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵CD=1，AD=3，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积：
S=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}×$AB×BC+$\frac{1}{2}$×AC×CD
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$
=2+$\sqrt{2}$
故答案为：2+$\sqrt{2}$

点评 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出△ACD是直角三角形是解此题的关键．