Question

【题目】如图，抛物线与直线交于两点，交轴与两点，连接已知．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：是直角三角形；

（3）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，满足条件的点的坐标为，，．

【解析】

（1）将点A，C的坐标代入到抛物线的解析式中，即可求出答案；

（2）先将抛物线解析式与直线解析式联立求出B点坐标，然后利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理即可得出结论；

（3）过点作轴于则，设点的横坐标为，分四种情况：①若点在点的下方，当时；②若点在点的下方，当时；③若点在点的上方，当时；④若点在点的上方，当时，分别进行计算即可．

（1）把代入

得：，解得：，

抛物线的解析式为；

（2）由题意联立，

解得：或，

B点的坐标为，

，

是直角三角形；

（3）存在点使得以为顶点的三角形与相似．

过点作轴于则，

设点的横坐标为，由在轴右侧可得则，

，

．

，

．

①若点在点的下方，当时，则，

，

，

，

，则．

把代入，

得，

整理得：，

解得：（舍去），（舍去）；

②若点在点的下方，当时，则，

，

，

，

∴，则，

把代入，得，

整理得：，

解得：（舍去），，

；

③若点在点的上方，当时，则，

同理可得：点的坐标为；

④若点在点的上方，当时，则，

同理可得：点的坐标为；

综上所述：满足条件的点的坐标为，，．