Question

【题目】如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，连接AD交线段PQ于点E，且，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

（1）根据相似三角形的性质得出，等量代换得到，推出，于是得出结论；

（2）根据平行线的性质得到∠PFC＝∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF＝∠FCG，等量代换得到∠PFC＝∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，再证得∠ECF＝90°，于是得出结论.

（1）证明：∵PQ∥BC，

∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴PC＝PE；

（2）∵PF∥DG，

∴∠PFC＝∠FCG，

∵CF平分∠PCG，

∴∠PCF＝∠FCG，

∴∠PFC＝∠FCG，

∴PF＝PC，

∴PF＝PE，

∵P是边AC的中点，

∴AP＝CP，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵PQ∥CD，

∴∠PEC＝∠DCE，

∴∠PCE＝∠DCE，

∴，

∴∠ECF＝90°，

∴平行四边形AECF是矩形．