Question

12．已知：一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m与反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象在第一象限的交点为A（1，n）．
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，C为x轴上一点，连接AC，若△ABC为等腰三角形，求C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，n）代入反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的解析式即可求出n，再把点A坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m即可求出m．
（2）分三种情形讨论①点B为等腰三角形的顶角的顶点．②点C为等腰三角形的顶角的顶点．③点A为等腰三角形的顶角的顶点．求出点C坐标即可．

解答 解：（1）∵A（1，n）在反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴n=$\sqrt{3}$，
∵一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m经过点A（1，$\sqrt{3}$），
∴$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+m，
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$交x轴于B，
∴点B（-2，0），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，OA=2，
如图所示，当BC=BA时，点C的坐标为C₁（-2-2$\sqrt{3}$，0），C₂（2$\sqrt{3}$-2，0），
当CB=CA时，点C与原点重合，点C坐标（0，0），
当AB=AC时，点C的坐标C₄（4，0）
综上所述满足条件的点C坐标（-2-2$\sqrt{3}$，0）或（2$\sqrt{3}$-2，0）或（0，0）或（4，0）．

点评 本题考查反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题的关键是灵活正确待定系数法，学会分类讨论的思想，注意考虑问题要全面，属于中考常考题型．