Question

1．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．
（1）求证：∠1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，易证得∠CAD=∠BDO，继而证得结论；
（2）由（1）易证得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CD的长，再利用勾股定理，求得答案．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAD+∠CAD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠1=∠BDO，
∴∠1=∠CAD；

（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CDE，
∴CD：CA=CE：CD，
∴CD²=CA•CE，
∵AE=EC=2，
∴AC=AE+EC=4，
∴CD=2$\sqrt{2}$，
设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，
则Rt△AOC中，OA²+AC²=OC²，
∴x²+4²=（2$\sqrt{2}$+x）²，
解得：x=$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半径为$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．注意证得△CAD∽△CDE是解此题的关键．