Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，；

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，轴于点，的延长线交直线于点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接、，，，求的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）（5，）

【解析】

（1）设点A的坐标为（a，0），从而求出点B的坐标，然后代入解析式即可求出结论；

（2）先求出点A、B、C的坐标，设点R的坐标为（m，），用含m的式子表示出OE、RE，然后根据相似三角形的判定定理证出△OAD∽△ERD，△BOC∽△GEC，最后列出比例式即可求出DE和RG，从而证出结论；

（3）过点N作NH⊥CE于E，作∠DFE=45°,用含m的式子表示出DE、EF、DF，设HN=n，，易知CH=n，OH=OC－CH=4－n，根据即可求出m与n的关系，然后根据锐角三角函数的性质可证∠HEN=∠FRD，再根据相似三角形的判定定理证出△RFD∽△DFG，列出比例式即可求出m的值，从而求出结论．

解：（1）设点A的坐标为（a，0），a＜0

∵

∴点B的坐标为（-2a，0）

将点A、B的坐标代入中，得

解得：或（不符合前提条件，舍去）

∴抛物线的解析式为；

（2）由（1）得点A（-2,0），点B（4,0），点C（0,4）

设点R的坐标为（m，），其中m＞0

∴OA=2，OB=4，OC=4，OE=，RE=m

∵轴

∴RE∥x轴

∴△OAD∽△ERD，△BOC∽△GEC

∴，

即，

解得： DE，RG

∴DE=RG；

（3）过点N作NH⊥CE于E，作∠DFE=45°

∴DE=EF=，DF==

设HN=n，（n＞0），易知CH=n，OH=OC－CH=4－n，

由（2）知OE=，DE=RG，RE= m，FR=RE－EF=，FG=FR＋RG=m

∵

∴EH2＋HN2=EN2=DR2=DE2＋RE2

∴（＋4－n）2＋n 2 =（）2＋m2

解得：n=或n=m（由图可知：R的横坐标m＞点B的横坐标4＞n，故舍去）

∴HN=，EH=m

∴tan∠HEN=，tan∠FRD=

∴∠HEN=∠FRD

∵，∠DFE=45°

∴∠FRD＋∠DGE=45°，∠DGE＋∠FDG=45°

∴∠FRD=∠FDG

∵∠RFD=∠DFG

∴△RFD∽△DFG

∴

即

解得：m1=2，m2=5

当m=2时，点R的纵坐标为=4，（点R在第四象限，故舍去）

当m=5时，点R的纵坐标为=，

∴点R的坐标为（5，）