Question

10．如图，已知抛物线经过点A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接BC交x轴于点F．试在y轴负半轴上找一点P，使得△POC∽△BOF．

Answer 1

分析 （1）抛物线的解析式为y=ax²+bx+c （a≠0），把A、B、C的坐标代入求出即可；
（2）求出∠BOF=∠POC，求出OB、OF、OC的长，根据相似得出比例式，代入求出即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c （a≠0），
将点A（-2，0）、B（-3，3）、0（0，0），
代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=2，c=0，
所以抛物线的解析式为y=x²+2x；
              
（2）如图，∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴顶点C的坐标为（-1，-1）．
∵B（-3，3），
∴tan∠BOF=$\frac{3}{3}$=1，tan∠POC=$\frac{1}{1}$=1，
∴∠BOF=45°，∠POC=45°．
∴∠POC=∠BOF，
∴∠POC=45°=∠BOF，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线经过点B（-3，3）、C（-1，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-k+b=-1}\end{array}\right.$
解得：k=-2，b=-3，
∴直线BC解析式为y=-2x-3，
令y=0，得x=-$\frac{3}{2}$，
因此，点F（-$\frac{3}{2}$，0），
∴OF=$\frac{3}{2}$，OB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
OC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵∠POC=∠BOF，
∴当$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OF}$时，△POC∽△BOF，
代入求出OP=4，
即当P点的坐标为（0，-4）时，△POC∽△BOF．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．