Question

正方形和圆都是人们比较喜欢的图形，给人以美得感受．我校数学兴趣小组在研究性学习中发现：
（1）在如图1中研究以AB为直径的半圆中，裁剪出面积最大的正方形CDEF时惊喜地发现，点C和F其实分别是线段AF和BC的黄金分割点！如果设圆的半径为r，此时正方形的边长a₁=

 

，tan∠ABD=

 

．
（2）如果在半径为r的半圆中裁剪出两个同样大小且分别面积最大的正方形的边长a₂=

 

，如图3并列n个正方形时的边长a_n=

 

．
（3）当n=9时，我们还可以在第一层的上面再裁剪出同样大小的正方形，也可以再在第二层的上面再裁剪出第三层同样大小的正方形，问最多可以裁剪到第几层？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据直角三角形的射影定理可以求得边长a₁，再利用tan∠ABD=

CD

BC

求出即可；
（2）根据直角三角形的射影定理可以求得边长a₂，进而得出边长a_n；
（3）通过观察排列的规律即可判断．

解答：解：（1）由于点C和点F其实分别是线段AF和的BC黄金分割点．
所以a₁²=（r+

a1

2

）（r-

a1

2

），
解得：a₁=

2 5

5

r；
tan∠ABD=

CD

BC

=

2 5 5 r

r+ 5 5 r

=

5 -1

2

，
故答案为：

2 5

5

r，

5 -1

2

；

（2）根据题意得：a₂²=（r+a₂）（r-a₂），
解得a₂=

2

2

r；

a

2 n

=（r+

1

n

a_n）（r-

1

n

a_n），
解得a_n=（2

1 4+n2

）r；
故答案为：

2

2

r，（2

1 4+n2

）r；

（3）当n=9时，我们还可以在第一层的上面再裁剪出同样大小7个正方形，
再在第二层的上面再裁剪出第三层同样大小5正方形，依此类推，4层是3个，5层1个；
所以最多可以裁剪到第5层．

点评：本题考查了直角三角形的射影定理的运用、圆的圆周角定理和锐角三角函数关系等知识，利用射影定理得出是解题关键．