Question

7．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O₁，半圆O₂，…，半圆
O_n与直线L相切．设半圆O₁，半圆O₂，…，半圆O_n的半径分别是r₁，r₂，…，r_n，则当直线L与x轴所成锐角为30°，且r₁=1时，r₂₀₁₅=3²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 分别作O₁A⊥l，O₂B⊥l，O₃C⊥l，如图，根据切线的性质得O₁A=r₁，O₂B=r₂，O₃C=r₃，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OO₁=2O₁A=2r₁=2，在Rt△OO₂B中，OO₂=2O₂B，即2+1+r₂=2r₂，解得r₂=3，同理得到r₃=9=3²，按此规律同理可得r_n=3^n-1，然后n取2015即可得到答案．

解答 解：分别作O₁A⊥l，O₂B⊥l，O₃C⊥l，如图，
∵半圆O₁，半圆O₂，…，半圆O_n与直线L相切，
∴O₁A=r₁，O₂B=r₂，O₃C=r₃，
∵∠AOO₁=30°，
∴OO₁=2O₁A=2r₁=2，
在Rt△OO₂B中，OO₂=2O₂B，即2+1+r₂=2r₂，
∴r₂=3，
在Rt△OO₂C中，OO₃=2O₂C，即2+1+2×3++r₃=2r₃，
∴r₃=9=3²，
同理可得r₄=27=3³，
所以r₂₀₁₅=3²⁰¹⁴．
故答案为3²⁰¹⁴．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了从特殊到一般的方法解决规律型问题．