如图.△ABC中.AB=AC=12cm.BC=8cm.点D为AB的中点．如果点P在BC上以2cm/s的速度由B→C运动.同时.点Q在AC上以相同的速度由C→A运动.当点P到达点C或点Q到达点A时运动停止．(1)经过1s后.△BPD与以点C.P.Q为顶点的三角形是否全等?为什么?(2)如果点Q的速度与点P中的两个三角形是否全等?若能.求出此时点Q的速度和运动时间,若不能.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，△ABC中，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在BC上以2cm/s的速度由B→C运动，同时，点Q在AC上以相同的速度由C→A运动，当点P到达点C或点Q到达点A时运动停止．
（1）经过1s后，△BPD与以点C、P、Q为顶点的三角形是否全等？为什么？
（2）如果点Q的速度与点P（2cm/s）不等，（1）中的两个三角形是否全等？若能，求出此时点Q的速度和运动时间；若不能，请说明理由．

分析（1）根据题意得出当t=1时，BP=2cm，CP=6cm，CQ=2cm，进而得出△DBP≌△PCQ（SAS），即可得出答案；
（2）根据全等得出要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，得出方程，求出方程的解即可．

解答解：（1）经过1s后，△BPD与以点C、P、Q为顶点的三角形全等，
理由：如图1，当t=1时，BP=2cm，CP=6cm，CQ=2cm，
∵D是AB中点，∴BD=AD=6cm，
在△DBP和△PCQ中
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△PCQ（SAS），
∴DP=PQ；

（2）设点Q速度为x，则t秒后CQ长度为xtcm，
因为P的速度为2cm/s，
所以t秒后BP长度为2t cm CP=8-2t（cm）．
当DB=CP，∠B=∠C，BP=CQ时，△DBP≌△PCQ（SAS），
则$\left\{\begin{array}{l}{xt=2t}\\{8-2t=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{x=2}\end{array}\right.$，x=2cm/s，不合题意舍去，
当DB=CQ，∠B=∠C，BP=CP时，△DBP≌△QCP（SAS），
$\left\{\begin{array}{l}{8-2t=2t}\\{xt=6}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=2}\\{x=3}\end{array}\right.$，
综上所述：当点Q的速度为3cm/s，运动时间为2s时符合题意．