Question

已知，如图矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
（1）求证：BE=BF．
（2）求△ABE的面积．
（3）求折痕EF的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）由翻折得出∠BEF=∠DEF，由AD∥BC得出∠BFE=∠DEF，进一步得出∠BEF=∠BFE求得结论；
（2）设AE=x，则BE=DE=9-x，根据勾股定理求得AE，进一步求△ABE的面积；
（3）先判定三角形BDE是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算．

解答：（1）证明：∵将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
∴∠BEF=∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF．

（2）解：设AE=x，则BE=DE=9-x，
由勾股定理得：x²+3²=（9-x）²，
解得：x=4，
则S_△ABE=

1

2

AB•AE=6cm²．

（3）连接BD，交EF于点G，
由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
则△BDE是等腰三角形，
由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，
∴BG=GD，BD⊥EF，
则点G是矩形ABCD的中心，
所以点G也是EF的中点，
由勾股定理得，BD=3

10

，BG=

3

2

10

，
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠C=90°，
∵∠DBC=∠DBC，
∴△BGF∽△BCD，
则有GF：CD=BG：CB，
求得GF=

10

2

，
∴EF=

10

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．