Question

19．如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1）求证：AD=BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求$\frac{AD}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠AGB=∠DGC，由$\frac{GA}{GD}=\frac{GB}{GC}$，证出△AGB∽△DGC，得出比例式$\frac{EG}{FG}=\frac{GA}{GD}$，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；
（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGB=∠AHB=90°，得出∠AGE=$\frac{1}{2}$∠AGB=45°，求出$\frac{AG}{EG}=\sqrt{2}$，由△AGD∽△EGF，即可得出$\frac{AD}{EF}$的值．

解答 （1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，
∴GA=GB，
同理：GD=GC，
在△AGD和△BGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=GB}&{\;}\\{∠AGD=∠BGC}&{\;}\\{GD=GC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△BGC（SAS），
∴AD=BC；
（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，
∴∠AGB=∠DGC，
在△AGB和△DGC中，$\frac{GA}{GD}=\frac{GB}{GC}$，
∴△AGB∽△DGC，
∴$\frac{EG}{FG}=\frac{GA}{GD}$，
又∵∠AGE=∠DGF，
∴∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF；
（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：
则AH⊥BH，
∵△AGD≌△BGC，
∴∠GAD=∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，
∴∠AGB=∠AHB=90°，
∴∠AGE=$\frac{1}{2}$∠AGB=45°，
∴$\frac{AG}{EG}=\sqrt{2}$，
又∵△AGD∽△EGF，
∴$\frac{AD}{EF}$=$\frac{AG}{EG}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果．