Question

如图，AB为圆O的直径，PA、PC均为圆O的切线．
（1）求证：PO∥BC；
（2）作OM⊥BC于M，写出BC，OP与半径r之间的等量关系，并进行证明；
（3）延长PC交AB的延长线于D，若PC=6，半径r=3，求

PA

PD

的值．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OC，根据切线的性质和切线长定理得PA=PC，OA⊥PA，OC⊥PC，∠APO=∠CPO，则∠AOP=∠COP，而∠OBC=∠OCB，根据三角形外角性质得∠AOP+∠COP=∠OCB+∠OBC，则∠AOP=∠OBC，根据平行线的判定即可得到PO∥BC；
（2）由于OM⊥BC，根据垂径定理得CM=BM，再证明Rt△OCP∽Rt△CMO，利用相似比得到OP•CM=OC²，则OP•

1

2

BC=r²，所以OP•BC=2r²；
（3）设CD=x，则PD=6+x，而PA=PC=6，证明Rt△ODC∽Rt△PDA，利用相似比得

3

6

=

OD

6+x

，解得OD=3+

1

2

x，在Rt△OCD中利用勾股定理得3²+x²=（3+

1

2

x）²，解得x=4，则PD=PC+CD=10，所以

PA

PD

=

3

5

．

解答：（1）证明：连接OC，如图，
∵PA、PC均为圆O的切线，
∴PA=PC，OA⊥PA，OC⊥PC，∠APO=∠CPO，
∴∠AOP=∠COP，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOP+∠COP=∠OCB+∠OBC，
∴∠AOP=∠OBC，
∴PO∥BC；
（2）解：OP•BC=2r²．证明如下：
∵OM⊥BC，
∴CM=BM，
∵OP∥BC，
∴∠POC=∠OCM，
∴Rt△OCP∽Rt△CMO，
∴OP：OC=OC：CM，
∴OP•CM=OC²，
∴OP•

1

2

BC=r²，
∴OP•BC=2r²；
（3）解：设CD=x，则PD=6+x，而PA=PC=6，
∵∠ODC=∠PDA，
∴Rt△ODC∽Rt△PDA，
∴

OC

PA

=

OD

PD

，即

3

6

=

OD

6+x

，解得OD=3+

1

2

x，
在Rt△OCD中，∵OC²+CD²=OD²，
∴3²+x²=（3+

1

2

x）²，解得x=4，
∴PD=PC+CD=6+4=10，
∴

PA

PD

=

6

10

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．