Question

15．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长；
（3）题干不变，问题（1）变为：若点P是弦AC的中点，求PA的长；
（4）题干不变，问题（2）变为：若点P是弧BAC的中点，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用特殊角的三角函数即可求得；
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA；
（3）利用勾股定理可得BC长，根据中位线性质，可得OP=$\frac{1}{2}BC$，利用勾股定理得AP；
（4）若点P是弧BAC的中点，∠AOP=∠BOP=90°，利用特殊角的三角函数易得AP=$\sqrt{2}$AO=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）如图（1）所示，连接PB，

∵AB是⊙O的直径且P是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PA=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{13}{\sqrt{2}}$=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$；

（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，

∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因为AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因为∠ACB=∠ONP=90°，
∴△ACB∽△0NP
∴$\frac{AB}{OP}$=$\frac{AC}{ON}$，
又∵AB=13 AC=5 OP=$\frac{13}{2}$，
代入得 ON=$\frac{5}{2}$，
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP²=0P²-ON²=36
在Rt△ANP中 有PA=$\sqrt{{AN}^{2}{+NP}^{2}}$=$\sqrt{117}$=3$\sqrt{13}$
∴PA=3$\sqrt{13}$；

（3）如图3，取AC中点P，连接OP，
∵AB是⊙O的直径，AB=13，AC=5
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=12，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=$\frac{1}{2}BC$=6，
∴AP=$\sqrt{{OA}^{2}{-OE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{13}{2}）}^{2}{-6}^{2}}$=$\frac{5}{2}$；

（4）如图4，连接AP，BP，OP，
∵点P是弧BAC的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOP=∠BOP=90°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴AP=$\sqrt{2}$AO=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．