Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的⊙O分别交BC，CD于M，N．若AB=13，BC=14，CM=9，则MN的长度为$\frac{180}{13}$．

Answer 1

分析 连结AM，AN，根据圆周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长；易证△AMN∽△ACD，根据相似三角形的性质即可求出MN的长．

解答 解：连结AM，AN，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，
∵AB=13，BM=5，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=12，
∵CM=9，
∴AC=15，
∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，
∴∠MNA=∠CAD，
∵∠AMN=∠ACN，
∴∠AMN=∠ACN，
∵△NMA∽△ACD，
∴AM：MN=CD：AC，
∴12：MN=13：15，
∴MN=$\frac{180}{13}$．
故答案为：$\frac{180}{13}$．

点评 本题考查了圆周角定理运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．